ЧИСЛО В ПОЗНАНИИ
Научное понятие числа Кассирер связывает с универсальной системой порядковых знаков, подчиненных общеобязательному принципу и не ограниченных ничем внешним; никакая множественность «вещей», значимая для чувственного восприятия или созерцательного представления, не может уже быть масштабом для образования порядковых знаков, которые имеют чисто идеальный характер и связаны, по слову Лейбница, не с действительным, а с возможным. Лингвистический анализ показал все трудности и препятствия этого пути; число здесь поначалу лишено чисто «абстрактного» смысла и сращено с исчисляемым, так что признаки предметов определяют различные числительные. Математическое понятие числа, по Кассиреру, тем и отличается от лингвистического числительного, что выпутывается из уз этой сращенности, преодолевая гетерогенность мысли, пронизанной многообразием объектов, и проникая в гомогенность, в род и эйдос числа как такового. Чистая форма отношения отличается здесь от всего, что может вступить в нее; образуется качественная и количественная бесконечность числа: первая в силу независимости принципа, построяющего ряд, от содержания ряда, вторая — в силу приложимости операции извлечения чисел к каждому отдельному числу. Кассирер вспоминает в этой связи Лейбница, назвавшего число метафизической фигурой, а арифметику — своего рода статикой универсума, исследующей силы вещей, и Платона, считавшего пространство изначальной формой всего материального бытия, поскольку последнее есть лишь определение общей формы пространства. Такова, по его мысли, природа и числа.
Современная математика постигла логическую универсальность чистого понятия числа и воздвигла на нем систему анализа. В работах Кантора и Дедекинда, Фреге и Рассела, Пеано и Гильберта это тенденция приняла четкую методическую направленность. Еще Гельмгольц пытался осилить дедукцию понятия числа эмпирическими средствами, но эмпиризм оказался здесь совершенно бессильным. Кассирер отмечает классическую аргументацию Фреге против Милля; «количество», по Фреге, есть свойство не вещи, а понятия: четыре лошади, впряженные в карету кайзера, говорит Фреге, мыслимы лишь в приложении числа четыре к понятию «лошади». Дедекинд в выведении иррациональных чисел также признает чисто мысленную природу числа; все учение Рассела о принципах математики предпосылает понятию числа чисто «логические константы». Даже математический «интуиционизм», отвергающий формалистику и логистику и производящий число из «праинтуиции», строго отличает последнюю от созерцания эмпирических объектов; обоснование математики у Брауэра исходит из полагания основного отношения, порождающего понятие порядка и понятие числа.
Иную картину, по Кассиреру, являет развитие проблемы числа в философии и критике познания. Кант определял число как чистую схему величины (последняя — понятие рассудка); в «Критике чистого разума» число обусловливается временем. Наторп в «Логических основаниях точных наук» перевертывает это положение; число, по Наторпу, не только образование чистого мышления, но и прототип и первоначало его. Против Наторпа выступил Риккерт, согласно которому число не только не подлежит сфере логики, но и являет собою образец «алогического», ибо даже такое элементарное положение, как 1 = 1, предполагает уже наличие интуитивного и алогического момента. Кассирер пытается отклонить критику Риккерта; последняя, считает он, связана не столько с риккертовским пониманием числа, сколько с риккертовским пониманием «логоса». Ведь и Риккерт утверждает независимость числа от опыта, его «априорность» и «идеальность»; стало быть, «алогичность» означает на его языке не что иное, как отличие предмета «число» от собственно логического предмета, конституируемого понятиями «тождества» и «различия». Отмеченные понятия образуют логический минимум, без которого немыслима никакая предметность, но этого минимума, по Риккерту, вовсе недостаточно для построения понятий нумерической «единицы», «количества» и «числового ряда». Математическое «рацио», заключает отсюда Риккерт, не совпадает с логическим «рацио». Но следует ли из этого, возражает Кассирер, что число «алогично» и, стало быть, чуждо мышлению? «И логический идеализм далек от того, чтобы утверждать простое совпадение числа с «логическим»; скорее он рассматривает число как детерминацию именно этого логического» (3.404). Если же понимать логическое в смысле Риккерта и принимать тождество и различие за единственные, в строгом смысле, «логические» категории, то внеположность математики оказывается несомненной. Но, переводя спор на язык современной логики исчислений, можно сказать, что тождество и различие суть симметричные отношения, тогда как для построения числа необходимо асимметричное отношение (Рассел). Понятие «логической формы» мыслится Кассирером гораздо шире: оно есть выражение способности отношения как таковой и включает в себя, в качестве частных случаев, все типы отношения — «транзитивные» и «интратранзитивные», симметричные, несимметричные и асимметричные, так что наличие числа в этой универсальной системе не может быть оспорено и, более того, должно быть признано за краеугольный камень ее. Ведь если число представляет схему порядка и выстраивания в ряд, то мышление, как скоро оно мыслит содержание бытия упорядоченным, с необходимостью опирается на число. «Здесь, — подчеркивает Кассирер, — оно обладает основополагающим средством своей «ориентировки», как бы идеальной осью, вокруг которой оно вращает мир» (3.406). На этой интуиции покоится пифагорейская первоначальная идентификация числа и бытия и более позднее уточнение этой мысли, где число объявляется «истиной бытия». Лейбниц в своей ранней философской концепции исходит из наброска универсальной арифметики, расширяя ее впоследствии до общей комбинаторики, которая имеет дело уже не только с числами как таковыми, но простирается и в совершенно иные области, к примеру, на точки — таков знаменитый Analysis situs Лейбница. И с другой стороны прямо пророческой называет Кассирер дневниковую запись 22-летнего Декарта об интеграции наук, образующих доселе агрегат, в «цепь» строго расчлененных и взаимосвязанных дисциплин — мысль, легшая в основу принципиального обоснования арифметики у Дедекинда. По Декарту, арифметика и геометрия, статика и механика, астрономия и музыка, при всем видимом различии их объектов, суть разнообразные выражения одинаковой формы познания, составляющей предмет общего наукоучения, Mathesis universalis, и простирающейся на все, что определено «порядком и мерой». Таким образом, «предмет» математики все больше и больше очерчивается контурами понятия порядка. Лейбниц прямо требует соответствия между порядком мыслимого и порядком знаков; каждая умственная операция должна выражаться в аналогичной знаковой операции и выверяться правилами связи знаков; это значит, что математические предметы суть чистые формы отношения. Определением комбинаторики как науки о родовых качествах, где качество отождествляется с формою, Лейбниц положил начало новой математике, принципиально расширяющей первоначальную «классическую» область количества и величины. Современная математика, подчеркивает Кассирер, являет ряд дисциплин, начисто лишенных понятия экстенсивных «величин». Так, в геометрии, наряду с «метрической» геометрией, существует и проективная — автономное образование, не нуждающееся для своего построения в отношении специальных величин. Аналогично обстоит дело и в Analysis situs. Но даже в области арифметики понятие величины выявляет уже всю свою узость; теория перестановок не только отделяется от элементарноарифметических теорий числа, но и в строгом смысле порождает последние. И отсюда, из исследований групп буквенных перестановок, развивается общее понятие группы операций, вырастающее в новую дисциплину теории групп, на основании которой Феликс Клейн осуществляет реформацию геометрии. Геометрия мыслится теперь как специальный случай теории инвариантов, ибо взаимосвязь различных геометрий объясняется здесь тем, что каждая из них рассматривает определенные свойства пространственных образований, являющихся инвариантными по отношению к ряду трансформаций; различие их сводится к факту наличия особых групп трансформаций, характеризующих каждую из них. Критико-познавательный анализ позволяет Кассиреру установить внутреннюю методическую связь между понятием числа и понятием группы. Последнее, по сути дела, рассматривает на более высокой ступени ту же проблему, что и первое. Ведь образование натурального ряда чисел началось с фиксации первого «элемента» и с указания правила порождения новых элементов через повторное применение. Ряд потому и замыкается в единую целостность, что каждое сочетание элементов определяет в свою очередь новое «число». При образовании «суммы», «разности» или «произведения» двух чисел а и в величины а + в, а — в, а·в не выпадают из основного ряда, но принадлежат ему как определенные места либо, по крайней мере, относятся к местам основного ряда; связь арифметических операций, в конечном счете, снова приводит к арифметическим элементам. Эта точка зрения доведена в теории групп до строгой всеобщности, ибо в ней вообще устранен дуализм «элемента» и «операции» через превращение самой операции в элемент. Совокупность операций образует группу в том случае, если две трансформации, последовательно осуществляемые нами, приводят к результату, который достижим и через одну принадлежащую к совокупности операцию; «группа», поэтому, есть не что иное, как точное выражение системы операций, а теория групп с логической точки зрения характеризуется Кассирером как новое «измерение» арифметики: она есть арифметика не чисел, а форм, отношений и операций. Слова Кеплера о числе, как «духовном оке», через которое мы зрим действительность, вполне приложимы и к теории групп, этому блистательнейшему примеру чисто интеллектуальной математики (по определению Германа Вейля). Именно с помощью понятия группы удалось Минковскому привести проблематику специальной теории относительности к чисто математической форме и осветить ее в совершенно новом ракурсе. Попытка определения места числа в общей системе математики на основании вышеприведенных фактов приводит Кассирера к выделению двух моментов в историческом развитии проблемы. Уже в пифагорействе, наряду с формулой отождествления числа и бытия, есть и другая формула, согласно которой бытие «подражает» числу и причастно в этом смысле к нему (Кассирер приводит фрагмент Филолая, гласящий о том, что все познаваемое имеет свое число). Эта полярность тождества и различия, по Кассиреру, претворена в современной математике в чистую корреляцию. Предметная сфера математики не сводима к числу в количественном аспекте), но с другой стороны, математика всегда ориентирована на число и форму его порядка. «Путь, уводящий от числа, непрестанно приводит к нему. Следует охватить обе тенденции, дабы узреть идеальную структуру современной математики» (3.412). Вторая тенденция доминирует во всем ходе развития математики с начала прошлого столетия. Гаусс назвал арифметику царицей математики; эта метафора выросла в реальный проект «арифметизации математики», выдвинутый Клейном. С другой стороны, доказательство непротиворечивости геометрии Гильберт свел к однозначному отражению элементов и положений геометрии в чисто арифметическом многообразии, где арифметика гарантирует геометрию. Порядок числа мыслится здесь как последний фундаментальный слой «аксиоматического мышления». Но это число, которое определяет специфическое своеобразие современной математики, является, по Кассиреру, уже не только содержанием мысли, но и типом мысли, или чистой символической формой.